牛顿迭代法数学公式
牛顿迭代法（牛顿-拉夫逊法）求解方程 f(x) = 0 的近似根，其数学公式为：x(n+1) = x(n) – f(x(n)) / f'(x(n)) 。详细办法包括：求出函数 f(x) 的导数 f'(x) 。输入初始推测值 x_0 。迭代盘算 x(n)，直至收敛到所需精度 。
牛顿迭代法的数学公式
牛顿迭代法，也称为牛顿-拉夫逊法，是一种根的数值解法 。它用于求解方程 f(x) = 0 中根的近似值 。
其数学公式如下：
x(n+1) = x(n) – f(x(n)) / f'(x(n))
其中：
- x(n) 是第 n 次迭代的近似值 。
- x(n+1) 是第 n+1 次迭代的近似值 。
- f(x) 是待求根的函数 。
- f'(x) 是 f(x) 的导数 。
推导
牛顿迭代法的推导从泰勒级数睁开最先：
f(x_0 + h) = f(x_0) + hf'(x_0) + (h^2/2)f''(x_0) + ...
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其中 h 是一个增量 。
若是我们令 f(x_0 + h) = 0，则获得：
f(x_0) + hf'(x_0) + (h^2/2)f''(x_0) + ... = 0
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忽略二阶及更高阶的导数，我们获得：
f(x_0) + hf'(x_0) = 0
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求解 h，获得：
h = -f(x_0) / f'(x_0)
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令 x_1 = x_0 + h，我们获得：
x_1 = x_0 - f(x_0) / f'(x_0)
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这就是牛顿迭代法的公式 。
使用办法
- 求出f(x) 的导数 f'(x) 。
- 输入一个初始推测值 x_0 。
- 通过公式 x(n+1) = x(n) – f(x(n)) / f'(x(n))，迭代盘算 x(n) 。
- 重复办法 3，直到 x(n) 收敛到所需精度 。
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