牛顿三次迭代公式的推导
牛顿三次迭代公式用于求解多项式方程 x^3 + ax^2 + bx + c = 0：泰勒睁开：f(x) ≈ f(x0) + f'(x0)(x – x0) + f”(x0)(x – x0)^2 / 2 + f”'(x0)(x – x0)^3 / 6 + …牛顿迭代：x_n+1 = x_n – f(x_n) / f'(x_n)二次修正：x_n+1 = x_n – [f(x_n) / f'(x_n) + f”(x_n) /
牛顿三次迭代公式的推导
问题：怎样推导牛顿三次迭代公式？
回覆：
牛顿三次迭代公式是一个用于求解多项式方程 x^3 + ax^2 + bx + c = 0 的近似解的要领。其迭代公式为：
x_n+1 = x_n – f(x_n) / f'(x_n) – f”(x_n) / 2f'(x_n)^2 * (f(x_n) / f'(x_n))^2
以下是对该公式的完整推导：
推导：
- 泰勒级数睁开：
设 f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c。我们可以将 f(x) 在恣意点 x0 处睁开为泰勒级数：
f(x) ≈ f(x0) + f'(x0)(x – x0) + f”(x0)(x – x0)^2 / 2 + f”'(x0)(x – x0)^3 / 6 + …
其中 f'(x)，f”(x)，f”'(x) 划分为 f(x) 的一阶、二阶、三阶导数。
- 迭代公式：
假设我们有一个初始近似值 x0。我们可以使用泰勒睁开式将 f(x) 线性迫近为：
f(x0 + h) ≈ f(x0) + f'(x0)h
其中 h 为迭代步长。
- 牛顿迭代：
我们希望求解 f(x) = 0，即找到一个使 f(x) 最小的 x 值。为此，我们可以使用牛顿迭代公式：
x_n+1 = x_n – f(x_n) / f'(x_n)
- 二次修正：
牛顿迭代公式只思量了一阶项。为了提高精度，我们可以思量二阶项。将泰勒睁开式中的一阶和二阶项代入牛顿迭代公式，获得：
x_n+1 = x_n – [f(x_n) / f'(x_n) + f”(x_n) / 2f'(x_n)^2 * (f(x_n) / f'(x_n))^2]
- 三次修正：
类似地，我们可以思量三阶项，获得更准确的迭代公式：
x_n+1 = x_n – [f(x_n) / f'(x_n) + f”(x_n) / 2f'(x_n)^2 (f(x_n) / f'(x_n))^2 + f”'(x_n) / 6f'(x_n)^3 (f(x_n) / f'(x_n))^3]
经由简化，获得牛顿三次迭代公式：
x_n+1 = x_n – f(x_n) / f'(x_n) – f”(x_n) / 2f'(x_n)^2 * (f(x_n) / f'(x_n))^2
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